Главная » 2014 » Сентябрь » 1 » Скачать Динамика и устойчивость системы электрически заряженных тел. Федоров, Александр Евгеньевич бесплатно
9:37 PM
Скачать Динамика и устойчивость системы электрически заряженных тел. Федоров, Александр Евгеньевич бесплатно
Динамика и устойчивость системы электрически заряженных тел
Диссертация
Автор: Федоров, Александр Евгеньевич
Название: Динамика и устойчивость системы электрически заряженных тел
Справка: Федоров, Александр Евгеньевич. Динамика и устойчивость системы электрически заряженных тел : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.02.06 / Федоров Александр Евгеньевич; [Место защиты: Нижегор. гос. ун-т им. Н.И. Лобачевского] Нижний Новгород, 2007 100 c. : 61 07-1/1607
Объем: 100 стр.
Информация: Нижний Новгород, 2007
Содержание:
Введение
Глава I, О динамике тела с точечиым электрическим зарядом в иоле одноименного точечного неиодвижиого заряда
§11 Постановка задачи Линейная модель §L2 О влиянии диссипативных и циркуляционных сил на устойчивость системы
Глава
II О способах максимизации области нритяжения равновесного состояния §
21 Область притяжения равновесного состояния §
22 О влиянии конфигурации электростатического поля на область притяжения равновесного состояния системы
Глава
III О динамике двух свободных гравитирующих тел, несущих электрические заряды Заключение Сиисок литературы
Введение:
Состояние, при котором твердое тело "нарит" в силовом поле подвеса без какого-либо механического контакта с окружающими телами, называют левитацией [33]. В первой половине XX века был впервые реализован магнитный нодвес ферритовых тел, и задача о левитации в силовых полях нолучила инженерное развитие. В 1911 г. Г. Камерлинг-Оннес открыл сверхпроводимость ртути, охладив ее жидким гелием до температуры 4.2 К. Как выяспилось позже, полная потеря электрического сопротивления при переходе в сверхпроводящее состояние не единственное необычное свойство такого вещества. В 1933 году В. Мейснер и Р. Оксенфельд экспериментально установили, что сверхнроводник нолностью вытесняет магнитное ноле из своего объема (если индукция поля не превышает критического значения). "Абсолютный" диамагнетизм сверхпроводящего состояния означал, в частности, возможность свободного нодвешивания магнита над чашей из сверхпроводника. В 1939 г. немецкий ученый В. Браунбек обнаружил теоретически и эксперимептально реализовал устойчивую левитацию тела с диамагнетиком [38]. В 1945 г. такой оныт осуществил В.К. Аркадьев. Он заставил безонорно парить небольшой ностоянный магнит над сверхпроводящим свинцовым диском. В настоящее время известны следующие категории неконтактных нодвесов: электростатические, магнитные, криогенные и комбинированные [33]. Вонросы, обсуждаемые в данной работе, относятся не только к электростатическим подвесам, но и нозволяют лучше нонять дннамику нодвесов других тинов. Статическое вывешивание в магнитном ноле тел, обладающих диамагнитными свойствами (магнитная нроницаемость меньше единицы) возможно благодаря тому, при определенной конфигурации магнитного ноля нотенциальная энергия системы в состоянни равновесия имеет минимум ("потенциальная яма") [25, 41, 42]. Иная ситуация наблюдается нри вывешиванни парамагнети3 ков в магнитном поле или заряженных тел в электростатическом. Статическое вывешивание в этих случаях невозможно. Одно пз главных препятствий возпикающих перед разработчиками электростатических подвесов заключается в природе электростатического поля. В 1839 году английский физик и математик Ирнщоу (S. Earnshow) выступил с докладом "О природе молекулярпых сил, определяющих физическое строенне светоносного эфира" [58], в котором он внервые высказал утверждение, вноследствии названное теоремой Ирншоу. Одна из ее современных формулировок (нанример [29, 45, 51]) звучит следующим образом: Совокупность неподвижных частиц, взаимодействующих между собой с силой обратно пропорциональной квадрату расстояния (притягивающихся или отталкивающихся), не мож:ет образовывать устойчивую равновесную систему. Доказательство теоремы основано на том, что силы, действующие па пеподвижпую частицу со сторопы других ненодвижных частиц, потепциальны, а соответствующий им скалярный потенциал ф не может обеснечивать равновесное состояние, отвечающее минимуму потенциальпой энергии частицы. Потенциал ф электростатического или гравитационного ноля в области вне источников удовлетворяет уравнению Ланласа j у Y П вторые нроизводные по всем трем декартовым коордипатам не могут иметь одинаковые знаки, так, что ф не может иметь экстремумов в этой области. Особым случаем является равенство нулю всех трех слагаемых в уравнении Ланласа. В этом случае устойчивость определяется производными более высокого порядка. Для преодоления запрета Ирншоу существует две возможности: иснользовать систему автоматического регулирования или изменить структуру сил. Первый снособ нодразумевает наличие в системе обратной связи. Датчик контролирует положепие подвешиваемого тела и подает комапды на унравляющее устройство, которое изменяет электростатическое или электромагнитное поле таким образом, чтобы тело вернулось в положение равновесия [12, 15, 28, 40, 46, 53, 58, 64]. На этом принципе основана конструкция большинства приборов, использующих эффект левитации. Второй подход заключается в выборе структуры сил действующих на вывещиваемое в электростатическом или магнитном поле тело. В качестве примера применения такого подхода рассмотрим задачу динамики двух электрически заряженных материальных точек, находящихся в поле силы тяжести. Заряды одинаковы. Вектор g направлен вертикально вниз (рис. 1). Один из зарядов (нижний) жестко закреплен, а другой в положении равновесия находится над неподвижным. Рис.1 Начало координат выбрано таким образом, что для подвижного заряда оно оказывается положением равновесия, в котором кулонова сила отталкивания от неподвижного заряда будет уравновешена силой тяжести mg. Нри смещении подвижного заряда вдоль оси z результирующая электростатической и гравитационной сил возвращает подвижный заряд в состояние равновесия. Однако отклонепие подвижного заряда от положения равновесия в плоскости ху (рис. 1,6) вызывает силу, уводящую его из положения равновесия, что является прямым следствием теоремы Ирншоу. Уравнения движения точечного заряда в векторной форме будут выглядеть следующим образом: тг -gradYl ing, где П, г-радиус вектор (рис. 1,6). В декартовой системе координат Oxyz линеаризованные около ноложения равновесия уравнения движения запищутся тх ——X, 4 После перехода к масштабу времени У У, Z -2z. Здесь точкой обозначено дифференцирование но безразмерному времени г I, Систему можно стабилизировать введением гироскопических сил [36], то есть сил направленных ортогонально вектору скорости. Включим магнитное ноле, вектор индукции В которого нанравлен вдоль оси z (рис. 1). При этом па подвижный заряд будет действовать магнитная составляющая силы Лоренца F [v,B], (1) где q величина точечного нодвижного заряда, v вектор скорости. Сила F прямо пропорциональна скорости и действует в перпендикулярном ей направлении (рис. 2), то есть является гиросконической. Ей соответствует кососимметричная матрица G 0 -qB qB\ о Рис.2 После учета лоренцевой силы уравнения движения системы принимают вид: X х Ну, у у-Нх, (2) Z -2z. Здесь параметр Н qBt,. Задача эквивалентна рассмотренной в [33]. Уравнения подвижного заряженного тела в координатах Оху совпадают с уравнениями угловых движений волчка Лагранжа [35, 43].Рис.3 Волчком Лагранжа называется осесимметричное тело, двигающееся в поле силы тяжести по горизонтальной, гладкой поверхности и приведенное во вращение с угловой скоростью О.. На волчок действуют две внешние силы: сила тяжести mg, приложенная к центру масс С волчка, и реакция опоры RQ опоры О (рис. 3). Положение оси 0L, симметрии волчка относительно неподвижных осей определяется углами а и |3 (рис. 4), которые предполагаются малыми а 1 и Р 1 Певозмущенным движением волчка является его равномерное вращение с угловой скоростью Я вокруг оси симметрии совпадающей с неподвижной вертикальпой осью: а 0, d 0, 0, у 0, ф ф=О. const. 5 Рис. 4 Углы наклона оси тела. Линеаризованные уравнения движения имеют вид: (3) или (4) CD. mgl Уравнения (4) можно рассматривать как результат наложения на неустойчивую потенциальную систему (5) (неревернутый маятник) гироскопической силы d- уа 0 (5) Сделав замену а Ае", р =Ве", получим характеристическое уравнение: -Hpi -р- (6) С корнями Pi 2 Pi Для консервативной устойчивости необходимо, чтобы все корни характеристического уравнения (6) были действительными. Следовательно, должно выполняться неравенство: Отсюда получаем условие на нараметр Я: Н>24х- (7) Для системы двух зарядов условие (7) означает, что нри достаточно высокой индукции магнитного поля В>— система будет консервативно устойqt, mns чива. Вывод о существовании порогового значения нараметра гиросконических сил Н*, начиная с которого система устойчива, следует из теоремы Кельвина о достаточных условиях гиросконической стабилизации [36]. Согласно теореме, если матрицы гиросконических и консервативных сил невырождены, то при значениях нараметра гиросконических сил Н больших норогового Н* система будет устойчивой Матрица G в рассмотренных примерах невырождена: detGiO, то есть вынолняется условие теоремы Кельвина, следовательно, область устойчивости по Я ограничена снизу (рпс. 5). Полную формулировку теоремы можно найти например в [2]: Уравнения возмущенного движения линейной автономной системы, на которую действуют потенциальные и гиросконические силы можно записать в матричном виде: Aq HGq Cq О. Здесь Н нараметр гироскопических сил, G матрица гироскопических сил, А и С -симметричные матрицы масс и потенциальных сил соответственно. Характеристическое уравнение запинштся следующим образом д(я)= АЛ IIG/l c\ O- Кроме характеристического уравнения исходной системы, рассмотрим два других уравнения: д"(я)= АЯ JIG\ O И A"(A)=|//G/1 C| 0- Первое определяет частоты нутационных колебаний той же системы в предположении, что на нее перестали действовать потенциальные силы. Второе определяет частоты прецессиопных колебаний. Теорема: Если к неустойчивой линейной автономной потенциальной системе присоединить гироскопические силы, удовлетворяющие условиям: /.определители G и С не равны нулю; 2. прецессионная система устойчива: 3. среди корней уравнений для нутационных и прецессионных колебаний нетравных, то при достаточно большом значении параметра И неустойчивое движение системы будет стабилизировано гироскопическими силами. 10 х- н. Рис. 5 Область устойчивости по параметру Н Таким образом, систему двух одноименных электрических зарядов, один из которых неподвижен, можно стабилизировать введением магнитного ноля. Далее показано как осуществить левитацию заряженного тела в электростатическом поле только за счет механических сил. Такая задача для систем с постоянными магнитами достаточно хорошо изучена, например, в работах [10, 54, 60,61,66,75]. Остановимся на работе [10], в которой рассматривается система двух постоянных магнитов с осевой намагничеиностью. Если одноименные полюса магнитов обращены к друг другу, то, закрепив нижний магнит так, как показано па рис. 6, можно найти па его оси точку, в которой сила тяжести, действующая на верхний подвижный магнит, компенсируется силой отталкивания со стороны ппжпего.ставится в соответствие масса т с центром масс в центре кольца и моменты инерции: осевой С и экваториальный А. Уравнения движения без учета диссипации будут следуюш;ими: ди дт] тС ди 0, 99 где 9,9-1 углы Крылова наклона оси нодвижного магнита (кольца 2) ОЪ, но отношению к вертикальной оси Oh, неподвижного магнита (кольца 1), .9з угол собственного враш,ения относительно d симметрии подвижного магнита Яо с 4 -9s\n9)= const модуль вектора кинетического момента враш;ающегося вывешенного тела. Его постоянство обусловлено тем, что угол 9 (поворот магнита вокруг оси симметрии) является циклической координатой. U силовая функция нондеромоторного взаимодействия двух колец с токами Ij, аналогичная рассмотренной в И Для малых отклонений от ноложения равновесия функция С/может быть нред ставлена в виде многочлена В состоянии равновесия сила тяжести уравновешивается силой отталкивания магнитов 13 нитов. в работе [17] показано, что введением снл дисеипации во вращающейся снетеме координат консервативную устойчивость такой системы можно унрочнить до асимптотической. Подобный пригщип устойчивости постоянного магнита в магнитном ноле реализован на практике. Существует демонстрационное устройство, известное в Европе и США как левитрон [63, 65]. Детальпое описание устройства можно найти в работе [62]. Рис. 8 1-вращающаяся часть; 2- постоянный магнит; 3-нодъемная нланка; 4жестко закрепленная база; 5-постоянный магнит с отверстием в центре Устройство состоит из ностоянного магнита, который может висеть в воздухе над другим постоянным магнитом (рис. 8) примерно в течение двух минут. Для стабилизации системы необходимо, чтобы подвижная часть вращалась с онределенной угловой скоростью. Простейшая теория гироскопической стабилизации, предложенная производителем в [67] пе была достаточной. Первая математическая модель была нолучена Berry [54]. Уравнения движения с шестью стененями свободы были 15 нолучены в работах [56, 57, 61]. В этих работах на линейной модели ноказано, что устойчивое равновесное состояние возможно, если относительная скорость собственного вращения тела ограничена и сверху и снизу. Данная работа носвящена левитации тела, несущего заряд, в электростатическом поле. Как и в рассмотренной выше задаче с вывешиванием постоянного магнита в магнитном ноле, стабилизация системы обеспечивается собственным вращением вывешенного тела. Несмотря на то, что устройство на ностоянных магнитах из-за конфигурации создаваемого ноля значительно более сложный объект для исследования, уравнения возмущенного движения для малых отклонений от равновесного состояния совпадают. Актуальность темы обусловлена необходимостью использования безопорных подвесов в научном и промышлепном нриборостроении для удовлетворения современным высоким требованиям к ряду характеристик оборудования, таким как: точность измерений, нродолжительность и стабильность работы, энергозатратность, малое тренне (пли его отсутствие) и так далее. Бесконтактный подвес обеспечивает малое трения в узлах нрибора, что увеличивает ресурс устройства, сокращает энергетические затраты на преодоление сопротивления. В настоящее время в промышлеппо развитых странах активно ведутся работы по созданию высокоскоростных поездов на магнитной нодушке [4, 71], в которых контакт нодвижной нлатформы с рельсом минимален, что обеспечивает долгий период эксплуатации, как самой дороги, так и платформы. Под воздействием электромоторов за 30 секупд такой поезд разгоняется но желобообразному рельсу до скорости 130 км/ч. Затем его колеса, словно шасси самолета, убираются внутрь, и ноддерживаемый в воздухе силой магнитного отталкивания он нродолжает "парить" над рельсом, набирая все 16 большую скорость. Экспериментальные образцы "Маглева"* уже демонстрируют возможность двигаться со скоростью 550 км/ч. Даже при таких скоростях за счет неконтактного вывешивания достигается хорошая плавность хода. Новый имнульс в развитии высокоскоростных транспортных средств в последние годы связан с открытием явления высокотемнературной сверхпроводимости, быстрым развитием силовой полупроводниковой техники, а также систем электродвижения на основе новых типов двигателей [69, 77]. Безопорное вывешивания позволяет существенно уменьшить внешнее воздействие на датчик в измерительном приборе, увеличивая его чувствительность и точность. Известно, что наибольшей точностью обладают гироскопы, в которых ротор вывешен в электростатическом или электромагнитном поле [30, 34, 46]. Их точность колеблется от 10 до Ю град/ч. Для сравнения, для гироскопа на шариковых подшинниках этот показатель меняется на интервале от 10" до 1 град/ч. С помош;ью магнитного поля в экспериментальных термоядерных реакторах типа Токамак [7, 22, 27, 44] (тороидальная камера с магнитными катушками) плазма изолируется от стенок реактора. Центрифуги, вывешенные в магнитном поле и раскру1енные до высоких скоростей, позволяют
