Главная » 2014»Август»1 » Скачать Универсальные рациональные множества в группах. Григоренко, Ольга Викторовна бесплатно
6:50 AM
Скачать Универсальные рациональные множества в группах. Григоренко, Ольга Викторовна бесплатно
Универсальные рациональные множества в группах
Диссертация
Автор: Григоренко, Ольга Викторовна
Название: Универсальные рациональные множества в группах
Справка: Григоренко, Ольга Викторовна. Универсальные рациональные множества в группах : диссертация кандидата физико-математических наук : 01.01.06 / Григоренко Ольга Викторовна; [Место защиты: ГОУВПО "Омский государственный университет"] Омск, 2005 c. :
Объем: стр.
Информация: Омск, 2005
Содержание:
Введение^,
Глава I, Предварительные свеления
Глава 2, Уштгр(л,1ы1ыс рациональные языки
21 Некоторые свойства универсальных рациональных языков
2 2 Некоторыс нерациональные языки -----------------------------
Глава О существовании универсальных рациональных структур на групп as
31 Проблема существования универсальной рациональной структуры на конечно порожденных труп пах —————3]
ЗЛ Проблема Герстена-Шорта
Глава 4 Применение рациональности и симметрии при исследовании различных систем уравнении
4, ] Бесконечные системы уравнений в группах„„„„„„ —
42 Симметричные системы линейных уравнений
Введение:
Актуальность темы. Изучение конечных автоматов и рациональных (регулярных, распознаваемых) множеств началось в 50-х годах XX века в связи С началом развития вычислительной техники, В настоящее время конечные автоматы применяются при моделирован ни процессов в различных областях интеллектуальной деятельности человека, например в лингвистике, экономике, философии, биологии В математике конечные автоматы и рациональные множества - это уже хорошо известные и привычные объекты-В основном они сформировались в рамках теории полугрупп.
Исследования рациональных множеств группах, как правило, проводились методами комбинаторной теории групп- В комбинаторной теории групп основными объектами являются слова в групповом алфавите, отношения эквивалентности между словами, а также свойства слов, инвариантные относительно некоторых преобразований. Комбинаторная теория групп исследует группы, заданные образующими и определяющими соотношениями. Основы комбинаторной теории групп изложены в классических монографиях Лнндона, Шупла [5] и Магнуса, Карраса, Солитера [6] под общим названием "Комбинаторная теория групп'.
Значительная часть проведённых исследований в рассматриваемой области посвящена рациональным языкам (рациональным множествам а свободных моноидах). Здесь можно отметить монографии Гилмана [ ] 7|, Флойда н Бигеля [I5J, Харрисона [18], Ревела [19], Отметим также фундаментальный труд по автоматным группа Эпстина, Кэннона. Холта. Леон, Патерсона и Терстона [14] и монографию по конечным автоматам Эйленберга [13],
Класс рациональных (регулярных, распознаваемых) подмножеств произвольного моноида М классически определяется как минимальный класс, содержащий все конечные полмножества И и замкнутый относительно рациональных операций, то есть объединения, умножения и порождения нодмоноида. Взяв в качестве моноида М группу G, получаем определение рациональных подмножеств а Группе G
Конечный автомат - это конечный ориентированный граф, в котором выделена некоторая вершина, называемая начальной, н подмножество вершин, называемых конечными (иди допустимыми). Рёбра графа имеют метки - элементы некоторого множества (моноида или группы). Проходя по некоторому пути нз начальной вершины в конечную и перемножая последовательно метки рёбер, получаем некоторый элемент моноида (группы), который называется допустимым относительно автомата. Множество всех допустимых элементов называется множеством, допустимым относительно автомата.
Исследования рациональных множеств тесно связаны с изучением конечных автоматов- Известно (см. [17]), что любое допустимое относительно автомата .множество является рациональным, н наоборот, любое рациональное множество задаётся конечным автоматом.
Идея использования конечных автоматов актуальна для теории групп. Как правило, в рамках этого подхода (см.{14], [16)) рассматриваются рациональные подмножества свободных моноидов, а связь с группой реализуется с помощью понятия "выбор порождающих". Эта связь не всегда адекватно отражает то» что происходит непосредственно в группе. Так в рамках данной теории определение рационального подмножества группы зависит от рациональной структуры на группе н не инвариантно относительно её выбора, Кроме того, оно имеет смысл лишь в конечно порожденных группах. Тем более естественно изучать рациональные подмножества групп а смысле непосредственного определенна.
Дальнейшее изучение рациональных множеств в группах проводилось В.А, Романьковым н его ученнкамн Г,А. Баженовой, М.Ю. Нсдбасм (см. [IJ -[3], (10J, 120]). В этих работах использовалось определение рациональных множеств через рациональные операции, а также не равносильное ему понятие /--рациональности, где L - это рациональный язык, задающий на группе рациональную структу ру. В частности, было определено понятие универсальной рациональности и универсальной рациональной структуры на группе.
Мы называем рациональную структуру L на G универсальной, сели любое рациональное подмножество R группы G L - рационально. Открытым оказался вопрос существования или отсутствия универсальных рациональных структур для групп из различных классов, В статье [16] Герстеном и Шортом сформулирована проблема о су шествовании такой рациональной структуры М на группе , в которой М - рациональны все подгруппы группы 2?. Мы называем такую структуру универсальной по подгруппам н естественным образом определяем понятие рационального языка, универсального по подгруппам.
Г.А Баженовой, было доказано (см, [2]), что свободная группа F„ конечного ранга п обладает универсальной рациональной структурой. Также ею установлено (см,
Класс В содержит все конечно порожденные почти абелевы группы [3J и замкнут относительно операции свободного произведения [. Тогда групповое слово представляющее левую часть уравнения, может считаться элементом группы Gfx/. х}. . xj. Все левые части системы уравнений IV=\ над группой G образуют подмножество в группе G[xi, х3., xj.
Определим отображение q>: G[x), xj. xJ—*G, полагая;
2) (Vi)
Систему уравнений IV - / в группе G мы называем рациональной, если It множество левых частей уравнений этой системы является рациональным подмножеством в группе G{xs, . xj. (Определение 12)
Доказано (Теорема 3) . что любая рациональная система уравнений в группе G эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме, н указан способ её построения.
Во втором параграфе четвёртой главы разработан метод (Теоремы 4, 5) решения систем линейных уравнений, названный методом спуска но подгруппам, позволяющий сократить трудоёмкость решения симметричных систем линейных уравнений, за счёт использования свойств симметрии этих систем. Показан один из возможных примеров применения этого метода прн решении прикладных задач,
Например, одним да приложений симметричных систем линейных уравнений являются краевые задачи математической физики. В частности, при приближённом решении краевой задачи с условиями Дирихле методом сеток возникает необходимость а решении системы линейных уравнений» размерность которой тем больше, чем больше требуемая точность расчётов. Если тело, для которого формулируется краевая задача, симметрично, го и система, решение которой даёт приближённое решение задачи, может оказаться симметричной. Тогда применение разработанного метода позволяет свести решение исходной системы уравнений к системе с меньшим числом неизвестных, что значительно сокращает трудоёмкость решения.
Апробации работы. Результаты диссертации докладывались на X Всероссийской конференции "Математическое программирование и приложения" (г, Екатеринбург, 1997), международной научно-практической конференции «Современные исследования в астрофизике и физико-математических науках», (г, Петропавловск, 2004). международной научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных пространств", (г Караганда, 2006), международной научно-практической конференции "Современные проблемы математики, механики и информационных технологий" (г.Талдыкорган, 2006), Омском алгебраическом семинаре (Омск, 2006).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в восьми работах ([21] -[28]).
Благодарное! ь. Автор, пользуясь возможностью, выражает глубокую благодарность научному руководителю профессору Виталию Анатольевичу Романькову за постановку задач, большую поддержку и внимание к работе.
